煤层气井的钻井、压裂和排采作业等外部压力条件改变，会造成煤基质应力条件和煤岩结构变化[1-2]，导致煤储层产出煤粉，从而危害煤层和井底，为此定量分析煤粉运移特征并合理控制煤粉产出成为煤层气井高产和稳产的关键。目前，煤储层煤粉运移和产出预测方法可归纳为现场观察法，包括煤岩观察法和DST中途测试法[3-4]，来定性描述煤粉的运移和产出;国内主要采用排采监测法[5]，通过监测煤粉浓度、产液量等排采数据来揭示煤粉产出的动态规律。经验预测方法包括组合模量法和斯伦贝谢法[6]，通过对煤岩性质的分析找出煤粉产出的煤岩特征临界值，其局限在于需采用煤层气井现场统计资料，且忽略了煤层损害和排采参数变化对煤粉运移的影响，结果仅能反映排采中的瞬间问题。实验分析和数值计算方法包括Risnes,Morita,Weingarten,Bratli等算法[7-8]，是在提出“砂岩强度”测井模型后，利用实验室模拟研究和数值计算的方法进行预测，然而其模型建立的前提是对相应油气层条件进行简化，由于地质条件和井况的巨大差异[9-10]，在应用于煤储层时并不能真实描述煤粉的运移情况;国内曹代勇等[11]依据煤粉产出物理模拟实验结果，研究煤粉的动态产出规律。可见，目前煤粉运移还没有达到定量描述其特征的水平，现有的煤粉运移和产出模型主要是移植或借鉴油气井的出砂模型，结果与现场实际相差较大，只能用来进行一些参数相关性和敏感性分析。
为此，笔者针对鄂尔多斯盆地东缘区块煤储层的排采实际，给出煤岩产气通道物理模型，建立煤粉随液流运移数学模型，利用数值解得到煤层泄流体各节点压力和煤粉浓度分布情况，从而实现煤层排采中液流携粉运移特征的定量描述。
1 煤层液流渗流数学模型
假设:
(1)煤层液流均质;
(2)煤层多孔介质不可压缩且液流微可压缩;
(3)液流渗流符合达西规律;
(4)渗流过程为等温。
由此，在煤层渗流区域点M(x,y,z)处任取一微元体，如图1所示。在M点液流质量速度m=ρwv，其中ρw为煤层液流密度[5,12-13]，v为渗流速度。
图1 煤层渗流区产气通道内微元体质量守恒示意
Fig.1 Conservation of mass for micro-unit in CBM channel
在dt时间内，该微元体在X方向、Y方向和Z方向上流入流量超出流出流量的差值之和为
(1)
同时，dt内该微元体中液流质量变化为
(2)
依据煤层液流渗流的连续性方程，则有
(3)
多孔介质中液流微可压缩，等温渗流时，煤层液流密度ρw为压力p的函数，即
ρw=ρ[1+Cwp-Cwp0]
(4)
其中，Cw为煤层液流压缩系数[14-15]，由于煤层介质不可压缩，则有
(5)
式中，φ为煤岩孔隙度，%。
依据达西定律，多孔介质中液流渗流速度为
(6)
式中，k为煤层渗透率，μm2;μw为煤层液流黏度，mPa·s。
将式(5)，(6)代入式(3)，则可以推导出煤层液流渗流微分方程为
(7)
2 煤岩产气通道管流规律
煤岩中的裂缝称为割理，割理将煤分割成许多块状的基岩块体，煤层气井排采后，裂缝作为煤层液流的渗流通道，煤层液流流经煤岩基质时，拖拽力是体积力和液流的动量，而煤岩基质的阻力主要是胶结力、接触力和吸附力等面积力，受力单元的厚度近似为煤粉颗粒的平均粒径;排采后煤岩基质应力条件的改变使得煤岩发生弹性自调节效应，当拖拽力大于面积力时，煤粉颗粒发生脱落并导致裂缝中煤粉的产生[1,10]，随着时间的推移，煤岩基质上的煤粉不断脱落，使得裂缝逐渐向前边和两侧发展，但是以向前主流线方向的发展为主，并由此最终在煤岩中形成从出口到入口沿主流线方向的产气通道[16]，如图2所示。
图2 煤储层煤岩产气通道剖面
Fig.2 Profile for CBM channels in coal reservoirs
根据煤层气井排采实际，排采前期主要产水，进入稳定排采阶段，产气量增加而产水量减少，且煤层压力进一步下降，使得煤层气体可以充分解吸，气液固三相流体在渗流过程中处于层流状态，煤层气体解吸出来后位于煤岩产气通道上方的空间内，产气通道内煤层气体下方的液流则携煤粉稳定运移，且液流渗流服从达西定律[17-18]，由此建立煤储层泄流体区域内产气通道管流模型，煤储层箱形泄流体长度为Mt、宽度为Nt、厚度为Ht，产气通道孔径为rt，产气通道长度Lt≤Nt，位于射孔产气通道长度Lp与yi之间，X,Y和Z向的渗透率分别为kx,ky和kz。
依据式(7)得到液流稳定渗流偏微分方程为
(8)
由于煤层泄流体与上下地层及其结合面为一个整体，需要考虑其外边界上持续不变的煤层压力供给，由此得到液流渗流的边界条件为
(9)
式中，pe,pwf分别为煤层和井底压力，MPa。
对式(8)差分离散，整理后得到
(10)
其边界条件相应整理为
(11)
其中，pi,j,k+1指的是pi,j,k对应的z=k+1时的点，对于任意一点pi,j,k满足微分方程:
(12)
当k=n时，pi,j,k+1=pi,j,k-1，则有pi,j,n+1=pi,j,n-1，通过求解线性方程组可以得到煤岩产气通道中各网格节点处的压力pi,j,k，并得到煤岩产气通道各节点处的液流流速，即
(13)
3 煤储层液流携粉运移模型
煤层产出的煤粉由不同粒径di的颗粒组成，各粒径煤粉的百分含量为ηi。当外力平衡(阻力等于重力)时，煤粉在产气通道液流中通常以稳定的运动状态进行沉降[16,19-20]，此时的受力为
(14)
由此，粒径di煤粉颗粒的沉降速度vci为
(15)
式中，ρc为煤粉颗粒密度，kg/m3。
依据不同粒径煤粉的沉降速度，可求得煤岩产气通道产出煤粉的沉降速度vc均值，即
(16)
M为煤粉沉降速度系数，依据煤粉沉降实验和实测资料获取。条件相同时，固液两相流要比单相流所消耗的能量要大一些，超出的能量即为两相流中的液流为了维持固体颗粒悬浮而做的功，由此建立能量平衡方程式，即
(17)
式中，J为产气通道液面比降，即液面两点间高度差相对于两点间距离的比值;vl，vh分别为纵向和垂向脉动流速，m/s;Sv为含煤粉量，kg/m3。
考虑通道高度dt，将式(17)沿垂向Z进行积分:
(18)
用S代表平均含煤粉量，并考虑到式(18)右端的第1项与v2成正比，式(18)可简化为
(19)
a为常数，引入无因次阻力系数f，并令f=8 gdtJ/v2。在煤岩产气通道没有发生堵塞的临界状态下，平均含煤粉量S达到临界含煤粉量S′，同时阻力系数f达到f′，故得
bS′=1-f0/f′
(20)
其中，
式(20)的右端为常数，由此引入系数A，并令A=1-f0/f′，则式(20)可改写为
(21)
v为产气通道液流流速，系数K和指数C与含煤粉量S′的单位相同，总结鄂尔多斯盆地东缘韩城和三交等区块测井数据，煤岩产气通道液流携煤粉力的临界含煤粉量S′的计算公式为
S′=0.053 5[1019v3/(gdtvc)]1.417
(22)
在已知产气通道Y方向点j处的含煤粉量Sj和液流携煤粉力
时，即可依据点j+1处液流的流动速度得到该点处的携煤粉力
，然后采用下式求出点j+1处的含煤粉量Sj+1:
(23)
式中，Li为煤粉颗粒一次移动的距离，m;ΔL为两点间距离，m;Sj，Sj+1为j点和j+1处含煤粉量，kg/m3;α为综合系数，由实测资料获得。
在煤层泄流体积范围内，将产气通道沿Y方向划分为m份，每份长度ΔL=Lj+1-Lj为Lt /m(Lt为产气通道长度)，利用含煤粉量的迭代方法，按照产气通道长度增量ΔL，逐步进行迭代，直到求出射孔区域产气通道顶端的含煤粉量为止，最终得到煤岩产气通道液流携粉的运移特征。
4 实例计算与结果分析
利用上述计算方法对鄂尔多斯盆地东缘三交区块SJP02-1井实际排采阶段煤储层煤岩产气通道煤粉随液流运移情况进行定量描述，并对求解结果加以分析。煤储层泄流体长度150 m，宽度150 m，厚度5.20 m，煤层渗透率长度方向3.07×10-15 m2、宽度方向1.98×10-15 m2和垂直方向0.89×10-15 m2，液流黏度0.88 mPa·s，煤粉密度1 490 kg/m3，煤层压力5.68 MPa，产气通道起点坐标0.3 m，终点坐标150.3 m，射孔产气通道长度0.3 m，射孔孔径14 mm，射孔数120个。模型的求解过程及结果分析如下:
(1)划分网格。对煤储层整个泄流体进行网格划分，依据泄流区域大小将X轴划分成30段，Y轴划分成30段，Z轴划分成21段。
(2)煤储层泄流体内各网格节点压力分布。采用高斯迭代法求解线性方程组，得到产气通道节点压力pi,j,k，表1给出井底流压3.13 MPa和产气通道高度0.60 mm时，x=25 m且z=2.6 m，x=50 m且z=2.6 m以及x=75 m且z=2.6 m处所对应3条产气通道的液流压力分布情况。
(3)煤岩产气通道内各节点速度分布。求解产气通道管流模型得到产气通道各节点处煤层液流的流速vi,j,k，井底流压3.13 MPa和产气通道高度0.60 mm时，x=75 m且z=2.6 m处煤岩产气通道的速度分布如图3所示。可以看出，煤岩产气通道中液流沿垂向的流速变化较快，在泄流体中部远离近井区域出现极大值，而横向和纵向上液流流速的变化则相对较缓。
(4)煤岩产气通道内煤粉浓度分布。煤层排采的不同阶段，产液量、生产压差以及产气通道剪切破坏使得产气通道孔径等不断变化，利用含煤粉量的迭代方法，得到不同排采阶段产气通道煤粉随液流运移的浓度分布情况，井底流压为3.13 MPa时，x=75 m且z=2.6 m处产气通道的含煤粉量情况如图4所示。整个煤储层泄流体区域内，近井地带液流高流速状态使得其含煤粉量达到最高值，外边界处液流的零流速使得含煤粉量达到最低。此外，渗透率和液流物性等参数不变时，增大产气通道孔径，会降低煤粉浓度，图中产气通道高度由0.30 mm升为0.90 mm时，产气通道节点最大含煤粉量则由0.759%降至0.160%。
表1 三交区块SJP02-1井各排采参数数据
Table 1 Operational parameters in the CBM wells studied
图3 煤层泄流区域产气通道各节点的速度分布情况
Fig.3 Velocity distribution for each node in CBM channel
图4 改变产气通道大小时的各节点含煤粉量分布
Fig.4 Concentration distribution of each node for different diameters of CBM channels
煤岩产气通道高度为0.60 mm时，x=75 m且z=2.6 m处产气通道的含煤粉量分布如图5所示。由于煤质较脆、易碎和坍塌，煤粉容易发生运移等特点，过高的压力干扰，会对煤储层造成损害，加重煤粉产出，图中生产压差由2.05 MPa提高到3.05 MPa后，产气通道节点最大含煤粉量则由0.112%迅速升至0.608%。
图5 改变井底流压时产气通道各节点的含煤粉量分布
Fig.5 Concentration distribution of each node for different flowing bottomhole pressures in CBM channel
鄂尔多斯盆地东缘煤层气井稳产阶段的产水量相对较低且生产压差波动较小，这就降低了煤岩产气通道剪切破坏的可能性，加之泄流体煤岩产气通道孔径较之排采前期扩大，使得煤粉产出浓度较低，体积比含煤粉量通常低于1%。而排采初期，煤层液流量较高，煤层气井动液面短期降低幅度较大[17]，且煤层压力降至煤层气解吸压力所用时间较短，造成生产压差波动较大，这些因素都加剧了煤粉的产出。
5 结 论
(1)依据煤岩产气通道管流理论建立煤层中煤粉随液流运移的数学模型，模型适用于煤层中液流渗流服从达西定律和排采后煤层割理发育并在泄流体积范围内形成产气通道的工况。
(2)煤储层排采过程中，煤岩产气通道内液流的垂向流速变化较快，并在通道中部区域达到极大值，近井区域液流高流速状态使得煤粉浓度达到最高值，而泄流体边界处的含煤粉量最低。
(3)排采初期较大的排液量和压差波动使得煤储层中的煤粉产出较多，而进入稳产阶段后，产液量减小、煤岩产气通道孔径增大和生产压差下降，使得液流携煤粉产出的浓度较低。
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